ناقش الأقسام الوسطى والارتفاعات في المثلث ، الأشكال المختلفة للهندسة هي محور العلوم الهندسية وتطبيقاتها ، وهو العلم الذي يهتم بشكل الأشياء الفردية والعلاقات الموقع بين الأشياء المختلفة ، وخصائص الفضاء المحيط بما في ذلك الأشكال ، وعلم حساب المثلثات هو أحد موضوعات الهندسة التي تهتم بدراسة المثلثات وخصائصها باستخدام المهارات الهندسية ، والأقسام الوسطى والارتفاعات في المثلث هو أحد الفروع التي يدرسها علم المثلثات ، وفي مقالنا اليوم عبر موقعنا سوف نقدم مناقشة شاملة حول هذا الموضوع.
مقدمة بحث عن القطع المتوسطة والارتفاعات في المثلث
في علم الرياضيات ، كانت الأشكال الهندسية دائمًا موضع اهتمام جميع علماء الرياضيات ، مما أدى إلى ظهور نظريات قوانين واستنتاجات مهمة ، وتحديد هذه الأشكال واستخداماتها وحساباتها المختلفة ، والمثلثات هي واحدة من هذه الأشكال الهندسية ، والتي من أجلها ترتبط العديد من النظريات والقوانين المهمة ، بما في ذلك جوانبها وزواياها والأقسام المستقيمة والارتفاعات بداخلها ، وسيكون هذا محور هذا البحث.
أنظر أيضا: زوايا مثلثات مشهورة
بحث عن القطع المتوسطة والارتفاعات في المثلث
هناك العديد من الحقائق التي تتعلق بالارتفاعات والأجزاء الوسطى في المثلثات ، خاصة أن هذين المصطلحين الرياضيين غالبًا ما يتم الخلط بينهما ، وبالتالي هناك العديد من الأشياء التي سيتم التطرق إليها في سياق هذا البحث ، في الشرح التفصيلي للأجزاء الوسطى و الارتفاعات في المثلث ومنها تعريفها وخصائصها والاختلاف بينها وبين القوانين والنظريات التي تخصها وكل ما يتعلق بها والتي سنبدأ باكتساب لمحة عامة عن علم حساب المثلثات وخصائص المثلثات ونظرياتهم الثابتة كنقطة مركزية يقوم عليها هذا البحث.
علم المثلثات
باختصار ، علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات يهتم بوظائف محددة للزوايا وتطبيقها على الحسابات ، والتي تجد تطبيقات ضخمة في مختلف المجالات ، ويتعامل هذا الفرع بشكل أساسي مع دراسة العلاقة بين أضلاع وزوايا المثلث ، ويساعد في إيجاد الزوايا أو الأضلاع المفقودة أو المفقودة المعروفة للمثلث باستخدام الصيغ المثلثية أو الدوال المثلثية أو المطابقات ، ويتم تصنيف علم المثلثات إلى فرعين مختلفين ، وهما حساب المثلثات المستوية ، الذي يتعامل مع المثلثات المستوية ثنائية الأبعاد وكل ما يتعلق بها ، وعلم المثلثات الكروية ، الذي يتعامل مع المثلثات ثلاثية الأبعاد وكل ما يتعلق بها.
خصائص ونظريات ثابتة في هندسة المثلثات المستوية
نظرًا لأن المثلثات عبارة عن مضلعات لها ثلاثة جوانب وثلاث زوايا ، يتم تحديد نظريات المثلث أساسًا بناءً على زواياها وجوانبها ، والتي تعتبر أساسيات الهندسة ، فيما يتعلق بهذا الشكل الهندسي ، ومن أهم هذه النظريات الثابتة حول المثلثات:
- مجموع الزوايا الداخلية الثلاث للمثلث يساوي 180 درجة.
- زوايا قاعدة المثلث متساوي الساقين متطابقة ، والزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية في مثلث متساوي الساقين متساوية في القياس أيضًا.
- قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع الزوايا الداخلية المقابلة.
- في المثلث القائم ، يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعات الأضلاع الأخرى ، وهذا ما يسمى نظرية فيثاغورس.
- مجموع أضلاع هذا الشكل الهندسي أكبر من مجموع الضلع الثالث.
- مساحة المثلث مضروبة في ارتفاع المثلث وقاعدته ضعف مساحته.
- عندما يكون لثلاثة أضلاع لمثلثين نفس القيمة ، أو متناسبين مع بعضهما البعض ، فإنهما متطابقتان.
- عندما يكون ضلعان من مثلثين متناسبين والزاوية بينهما متشابهة ، فإن هذين المثلثين سيكونان متشابهين.
- الضلع المقابل للزاوية الأكبر في المثلث هو الضلع الأكبر.
القطعة المتوسطة في المثلث
الجزء المتوسط في المثلث عبارة عن قطعة مستقيمة مرسومًا من رأس المثلث إلى النقطة الوسطى في الضلع المقابل ، وبالتالي نقسم الجانب الآخر من المثلث إلى جزأين متساويين ، مما يعني أننا نعلم أن هذا الجزء هو في الواقع جزء متوسط ، بالحصول على هذا الأجزاء المستقيمة المتساوية التي تشكل المثلثات المنقسمة.
خصائص القطعة المتوسطة
وهو ما يلي:
- يمكن أن يكون لدينا ما يصل إلى ثلاثة متوسطات ، واحد من كل رأس إلى منتصف الضلع المقابل.
- عندما نرسم ثلاثة متوسطات في المثلث ، فإنها تلتقي دائمًا عند نقطة واحدة. وتعرف هذه النقطة المفردة بالنقطه الوسطى للمثلث.
- يقسم الوسطاء المثلثين إلى جزأين ، ويتشكل المثلثان الجديدان بإضافة وسيط لهما لتشكيل مساحات متساوية.
- من خلال المتوسطات الثلاثة للمثلث ، سيتم تكوين ستة مثلثات تتكون من مناطق متساوية.
نقطة التقاء القطع الوسيطة ومركز الثقل
عند تقاطع المتوسطات ، تسمى النقطة المشتركة بين المتوسطات الثلاثة نقطة الوسط أو النقطه الوسطى أو نقطة التقارب ، وستظل دائمًا داخل المثلث على عكس نقاط التقارب الأخرى مثل المركز العمودي ، والتقاء تقدم المتوسطات عند النقطة الوسطى خاصية غريبة ، لأن النقطة الوسطى دائمًا ما تكون ثلثي الطريق على طول كل وسيط من الزاوية الداخلية لذلك الوسيط ، ومن السمات الأخرى لهذه النقطة أنها تسمى مركز الكتلة أو مركز ثقل المثلث ، وهذه ليست مجرد نقطة نظرية ، من خلال رسم المتوسطات الثلاثة ، يمكن للمرء أن يجد المكان الدقيق الذي سيتوازن فيه المثلث الفعلي تمامًا.
قانون القطعة المتوسطة
توجد عدة قوانين ونظريات تشرح أبعاد الخط المستقيم وخصائصه ، ومن بين هذه القوانين والنظريات:
- مركز نظرية الجاذبية: في أي متوسط لمثلث ، تكون المسافة بين مركز الجاذبية الذي عرفناه سابقًا ، ومركز جانبه المقابل في المثلث ، هي ثلث أو من طول ذلك الوسيط ، والعكس بالعكس ، فإن النقطة الوسطى هي ⅔ أو ثلثي المسافة الممتدة من أي رأس للمثلث ، إلى نقطة المنتصف ، الضلع المقابل ، i.
- نظرية الوسيط لأبولونيوس: هي نظرية هندسية أولية تربط متوسط طول المثلث بأطوال أضلاعه ، وتنص على أن مجموع مربعي ضلعي المثلث يساوي مجموع نصف مربع الضلع الثالث ، ومرتين مربع الوسيط المقابل لهذا الضلع الثالث.
مثال تطبيقي على نظرية القطعة المتوسطة
السؤال: مثلث أضلاعه 7 و 6 و 10 سم. أوجد طول الوسيط في ضلع الطول 10 سم.
الحل: From the terms mentioned above, A = 10 cm, B = 7 cm, C = 6, and the half of the side required to find the median is מ= А÷2 = 10÷2 = 5 cm, and by applying the law من نظرية أبولونيوس الوسيطة ، وباستبدال القيم المطلوبة ، يكون الحل هو:
- ج² + ب² = 2 م²+د²
- 6 ² + 7 ² = 2 5²+د²
- 49 + 36 = 2 25+د²
- 49 + 36 = 2×25 + د²
- 49 + 36 = 50 + د²
- د² = 36+49 – 50
- د² = 85-50 = 35
- د = جذر د² = جذر 35 = 4.183
كيفية ايجاد القطعة المتوسطة في المثلث
يتم ذلك بعدة خطوات باستخدام الفرجار وهي الطريقة الأكثر دقة تقريبًا ، لذلك إذا كان لدينا المثلث ABC ، وأردنا بناء المنصف الرأسي للجانبين AB و BC للحصول على نقاط المنتصف لتلك المقاطع ، كما في الصورة المرفقة نقوم بما يلي:
- سنقوم بتعديل عرض الفرجار إلى ما يزيد قليلاً عن نصف طول AB.
- سنضع رأس الفرجار عند النقطة A ، ونصنع قوسًا على كل جانب من جوانب AB.
- وبدون تغيير عرض البوصلة ، من الرأس أو النقطة B ، سنرسم أقواسًا تتقاطع مع الأقواس الأولى عند النقطتين E و F ، كما هو موضح في الشكل أدناه.
- ثم سنرسم خطًا من E إلى F ، بحيث يكون لدينا النقطة S ، وهي النقطة التي يتقاطع عندها المقطع المستقيم EF مع جانب المثلث AB ، وبالتالي فإن النقطة S هي نقطة منتصف الضلع AB ، و المقابل للزاوية C ، فالقطعة المستقيمة للزاوية C هي CS.
- بعد الحصول على أول قطعة مستقيمة ، سنكرر العملية مع الخط BC ، وننشئ النقطة T على BC ، كما هو موضح في الصورة أدناه ، وبالتالي لدينا نقطتا المنتصف BC و AB التي سنتصل بها ببساطة.
- الأمر نفسه ينطبق على الضلع الأخير ونقطة المنصف عليه ، ثم سنرسم كل القطع الوسطى للحصول على النقطة المركزية للمثلث.
ارتفاع المثلث
الارتفاع هو في الأساس خط مستقيم عمودي مرسوم من رأس المثلث إلى الضلع المقابل ، لذلك إذا كان لدينا مثلث رأسه A ، والضلع المقابل للرأس هو BC ، فإن الارتفاع هو الضلع المرسوم رأسيًا من الرأس A ، على الجانب المقابل للرأس ، وهو BC ، كما يمكننا أن نفعل هكذا من أي رأس للمثلث على الجانب المقابل له ، لكننا سنراه في أغلب الأحيان بشكل أوضح من الأعلى.
خصائص ارتفاع المثلث
تختلف الارتفاعات وتشبه القطعة الوسطى في بعض الخصائص لكنها في نفس الوقت تميز بين الاثنين ، ومن أهم خصائص الارتفاعات:
- يمكن أن يحتوي كل مثلث على 3 ارتفاعات ، أي ارتفاع واحد من كل رأس على الجانب المقابل له.
- دائمًا ما تلتقي الارتفاعات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة بغض النظر عن شكل المثلث.
- الارتفاع هو أقصر مسافة من الرأس إلى الجانب الآخر.
الفرق بين متوسط وارتفاع المثلث
قد يبدو هذان المصطلحان متشابهين إلى حد ما ، وهناك بعض الخصائص المتشابهة بينهما ، ولكن في الحقيقة هناك اختلاف جوهري بينهما ، وهذا الاختلاف يؤثر على طريقة حساب كل منهما بطريقة مختلفة تمامًا ، والاختلاف هو تتلخص على النحو التالي:
- الارتفاع عمودي على أي جانب من أضلاع المثلث ، ويقيس المسافة بين الرأس والخط الذي يمثل الضلع المقابل.
- الوسيط هو قطعة خطية تربط الرأس بالنقطة المركزية على الجانب المقابل ، أي أن الوسيط لا يجب أن يكون عموديًا في كل مرة.
وعلى الرغم من ذلك ، وفي حالة المثلث متساوي الأضلاع على وجه التحديد ، فإن الوسيط والارتفاع هما نفس الشيء دائمًا.
أنواع المثلثات حسب الأضلاع والزوايا
خاتمة بحث عن القطع المتوسطة والارتفاعات في المثلث
علم المثلثات هو أحد أهم العلوم التي تنعكس نتائجها في تطبيقات مختلفة من الأمور الحيوية ، سواء من الحاجة إلى حساب الزوايا والمسافات في مجالات مثل علم الفلك ورسم الخرائط والمسح وإيجاد المدى …