بحث عن المصفوفات في الرياضيات كامل من أهم القطع البحثية التي يجب إبرازها من خلال تقديم العروض التقديمية للطلاب وتكليفهم بإعداد البحث عنها والبحث في أهم التطبيقات التي تعتمد بشكل أساسي على المصفوفات ، وذلك بالرغم من عدم وجود غالبية المناهج الدراسية للتدريس المصفوفات بطريقة مناسبة تتعامل مع تطبيقاتها وأهميتها ، من المهم إعطائها حقها ، ولهذا سيتضمن موقعنا الإلكتروني مناقشة حول المصفوفات حيث سيتم مناقشة الحديث عن المصفوفات من جوانبها المختلفة.
مقدمة بحث عن المصفوفات في الرياضيات
بسم الله الرحمن الرحيم والحمد لله رب العالمين والصلاة والسلام على سيدنا وقائدنا محمد سيد الخلق والمرسلين وعلى آله وصحبه أجمعين. بعد:
إن البحث الذي سأكتب عنه هو بحث مهم عن أحد أهم العلوم الرياضية ، وهو المصفوفات. نظرًا لأن المصفوفة لها تاريخ طويل في العديد من التطبيقات ، بما في ذلك حل المعادلات الخطية ، فقد عُرفت باسم المصفوفات arrays حتى القرن التاسع عشر وبعد ذلك كان يطلق عليه matrix وهذا هو الاسم المعتمد حتى يومنا هذا. يمكن استخدام المصفوفات للتعامل مع نظام مكون من معادلات خطية متعددة في نفس الوقت وحلها من خلال إيجاد قيم المتغيرات ، وتكشف المصفوفات وعملية ضرب المصفوفات سماتها الأساسية عندما تكون كذلك مرتبطة بالتحولات الخطية linear transformations، والتي تُعرف أيضًا باسم الخرائط الخطية linear maps.
مناقشة كاملة للخوارزمي
بحث عن المصفوفات في الرياضيات كامل
نظرا لأهمية البحث في المصفوفات ودراستها ، فقد تم إجراء دراسة شاملة لما يتعلق بها ، من تعريف مفهومها العام وبيان أهم تطبيقاتها في الحياة اليومية ، وأهم العمليات التي تتم عليها و أشياء أخرى كثيرة ، سأقوم في هذا البحث بإلقاء الضوء على كل هذه الموضوعات تدريجياً من خلال تصنيفها في أبواب تحتوي على شرح مفصل مدعم بالصور والأمثلة.
تعريف المصفوفات
الموضع الأول الذي سنتناوله في مناقشة المصفوفات هو تعريف المصفوفة في الرياضيات ، لأنه ترتيب مستطيل للأرقام أو الرموز أو التعبيرات المرتبة في صفوف وأعمدة ، حيث تُكتب المصفوفات عادةً بين قوسين مربعين ؛ تسمى الخطوط الأفقية في المصفوفة بالصفوف ، بينما تسمى الخطوط الرأسية في المصفوفة بالأعمدة.
ويتم تحديد حجم المصفوفة بعدد الصفوف والأعمدة التي تحتوي عليها ؛ بحيث يتم استدعاء المصفوفة المكونة من عدد م من الصفوف وعدد ن من الأعمدة مصفوفة m × n وتقرأ المصفوفات m في n ، بينما يُطلق على العددين m و n أبعاد المصفوفة. ويكون شكل المصفوفة كالتالي:
أنواع المصفوفات
توجد مصفوفات بجميع أنواع الأحجام ، ولكن عادة ما تكون أشكالها متشابهة ، ويطلق على حجم المصفوفة أبعادها وهي تمثل العدد الإجمالي للصفوف والأعمدة في المصفوفة ، ولكن قد يختلف اسم المصفوفة حسب الاختلاف في أبعاده أو الاختلاف في عناصره ؛ نظرًا لوجود عدة أنواع من المصفوفات على النحو التالي:
- صفيف الصف row matrix.
- مصفوفة العمود column matrix.
- مصفوفة واحدة singleton matrix.
- مصفوفة مستطيلة rectangular matrix.
- مصفوفة مربعة square matrix.
- المصفوفات المتماثلة identity matrices..
- مصفوفة الوحدة matrix of ones، unit matrix.
- مصفوفة الصفر zero matrix.
- مصفوفة قطرية diagonal matrix.
مناقشة الوظائف الرئيسية والتحولات الهندسية
أهمية المصفوفات
على الرغم من أن المصفوفات لها استخدامات وتطبيقات كثيرة في حياتنا ، إلا أن الفصول تتعامل فقط مع طرق حلها والعمليات التي يتم إجراؤها عليها ، ولكن استخدامات المصفوفات في حياتنا كثيرة ، ولهذا السبب سأضمّن مجموعة منهم في هذا البحث عن الصيغ ، وهي كالتالي:
- التشفير: حيث يتم استخدام المصفوفات في التشفير من أجل مزج البيانات لأغراض أمنية لتشفير وفك تشفير البيانات التي نحتاجها ، حيث يوجد مفتاح يساعد في تشفير وفك تشفير البيانات التي تم إنشاؤها بواسطة المصفوفات.
- الألعاب ثلاثية الأبعاد: تستخدم المصفوفات في الألعاب ثلاثية الأبعاد لتغيير الكائن في الفضاء ثلاثي الأبعاد ؛ حيث يتم استخدام مصفوفة ثلاثية الأبعاد للمصفوفة ثنائية الأبعاد لتحويلها إلى كائنات مختلفة حسب المتطلبات.
- الاقتصاد والأعمال: تعتبر المصفوفات مفيدة في دراسة اتجاهات الأعمال والمشاركات وأشياء أخرى مثل إنشاء نماذج الأعمال وما إلى ذلك.
- البناء: على الرغم من أن معظم المباني مستقيمة ، إلا أن المهندسين المعماريين في بعض الأحيان يحاولون تغيير الهيكل الخارجي للمبنى كما هو الحال في برج خليفة الشهير ، ويمكن القيام بذلك باستخدام المصفوفات ، ويمكن أن تساعد المصفوفات في دعم الهياكل التاريخية المختلفة.
- إضفاء الحيوية: يمكن أن تساعد المصفوفات في جعل الرسوم المتحركة أكثر دقة وكمالًا.
- الفيزياء: يتم تطبيق المصفوفات في دراسة الدوائر الكهربائية وميكانيكا الكم والبصريات ، حيث تساعد في حساب ناتج طاقة البطارية ، وتحويل مقاومة الطاقة الكهربائية إلى طاقة مفيدة أخرى. تلعب المصفوفات أيضًا دورًا رئيسيًا في الحسابات ، خاصة في حل المشكلات باستخدام قوانين كيرشوف للجهد والتيار ، كما تساعد في دراسة فيزياء الكم واستخدامها.
- الجيولوجيا: حيث يتم استخدام المصفوفات لإجراء المسوحات الزلزالية.
خصائص المصفوفات
تختلف خصائص المصفوفات باختلاف نوعها ، ولكل نوع مصفوفة خصائص تميزه عن المصفوفات الأخرى ، وفيما يلي بعض الخصائص العامة لأنواع المصفوفات:
- يتم تنظيم الأرقام والبيانات الموجودة في المصفوفة بحيث يكون للموضع الموجود فيها معنى ، وتحتل كل قيمة في المصفوفة موقعًا محددًا في العنصر ، وعادة ما يتم ترميز المصفوفة بكتابة حرف كبير تحتها ، مثل : أ.
- كل مصفوفة لها رتبة معينة يمكننا من خلالها تحديد نوعها ، على سبيل المثال عندما نقول أن رتبة المصفوفة هي 3 × 2 ، وعدد الأعمدة هو 3 وعدد الصفوف هو 2.
- تكون المصفوفتان متساويتين إذا كانت لهما نفس الرتبة ومتساوية في العناصر المقابلة.
- عندما يتم تنظيم البيانات في المصفوفة ، يكون من السهل تحليلها وتفسيرها ، ويعطي مجموع العناصر في الصفوف والأعمدة أحيانًا قيمًا ذات معنى ، وأحيانًا لا يكون لها معنى وفقًا للبيانات التي تمثلها المصفوفة.
- في المصفوفة المربعة ، يكون عدد الصفوف والأعمدة متساويًا.
- المصفوفة المربعة هي مصفوفة قطرية عندما تكون العناصر غير القطرية أصفارًا.
- المصفوفة المربعة هي مصفوفة الأعداد الثابتة عندما تكون العناصر خارج القطر صفراً والعناصر القطرية متماثلة.
- المصفوفة التي تكون جميع العناصر غير القطرية فيها أصفار والعناصر القطرية هي 1 هي مصفوفة الوحدة.
- المصفوفة هي مصفوفة متماثلة إذا كانت A = Aتي، اين اتي هو معكوس المصفوفة أي عندما تتحول الصفوف إلى أعمدة والأعمدة إلى صفوف.
- تكون المصفوفة متماثلة إذا كانت A = –Aتي، اين اتي هو معكوس المصفوفة.
المصفوفة هي مصفوفة متعامدة. إذا كانت أ × أتي = I ، حيث أنا مصفوفة الوحدة من نفس ترتيب المصفوفة A ، و Aتي هو معكوس المصفوفة. - تسمى المصفوفة مصفوفة مفردة ، إذا كانت A | = 0 |
- تسمى المصفوفة بالمصفوفة الصلبة idempotent matrix اذا كان2 = أ.
تسمى المصفوفة بالمصفوفة القسرية involutory matrix اذا كان2 = أنا.
اكتمل مناقشة الدوال وأنواعه
مميزات المصفوفات
المصفوفات هي ترتيب للبيانات في شكل مستطيل للمتغيرات أو الأرقام في صفوف أفقية ورأسية محاطة بأقواس ، وبالنظر إلى أن المصفوفة هي واحدة من أكثر هياكل البيانات شيوعًا في لغات البرمجة المختلفة ، فإن لها مزايا وعيوب ، و أهم ما يميز المصفوفة هو ما يلي:
- تساعد المصفوفات في تحسين كتابة التعليمات البرمجية ؛ لذلك يمكننا تخزين عدد كبير من القيم في مصفوفة واحدة عن طريق كتابة جزء صغير من التعليمات البرمجية بدلاً من التصريح عن كل متغير على حدة.
- المصفوفات سهلة الاستخدام مثل العديد من الخوارزميات مثل تقنيات البحث والفرز ، وإيجاد القيم القصوى والدنيا ، ويمكن إجراء عمليات الانعكاس بسهولة باستخدام المصفوفات.
- التعقيد الزمني للوصول إلى أي عنصر من عناصر المصفوفة هو O 1، أي أنه يستغرق مقدارًا ثابتًا من الوقت للوصول إلى عنصر.
- تستخدم المصفوفات الفهارس لتحديد عناصرها ، ويمكن استخدام هذه الفهارس التي تبدأ من “صفر” وتنتهي عند “طول المصفوفة – 1” للوصول إلى جميع عناصر المصفوفة.
- توجد مصفوفات ثنائية الأبعاد بالإضافة إلى المصفوفات البسيطة المستخدمة لتخزين عناصر الصفيف من أي أبعاد.
- تقوم المصفوفات بتخزين العناصر في مواقع ذاكرة متجاورة ، ولا يتم تخصيص ذاكرة إضافية خارج هذه الكتلة المجاورة ، مما يمنع إهدار الذاكرة.
- المصفوفات هي واحدة من أبسط هياكل البيانات ، لذا يمكن استخدامها لتنفيذ هياكل البيانات الأخرى مثل القوائم المرتبطة ، والمكدسات ، وقوائم الانتظار ، والرسوم البيانية ، والأشجار ، وما إلى ذلك.
- يمكن استخدام المصفوفات لتنفيذ العديد من تقنيات جدولة وحدة المعالجة المركزية.
عيوب المصفوفات
عند كتابة بحث حول المصفوفات ، يجب ذكر عيوبها جنبًا إلى جنب مع مزاياها ، وضمن نطاق استخدام المصفوفات في برمجة الكمبيوتر ، يمكن القول أن هناك مجموعة من العيوب أو القيود لهذه المصفوفات ، والتي هي يتبع:
- حجم المصفوفة ثابت ، وبمجرد تخصيص الذاكرة لمصفوفة ، لا يمكن زيادتها أو إنقاصها ، وهذا يمنعنا من تخزين بيانات إضافية إذا أردنا ذلك ، وتسمى هذه المصفوفات ذات الحجم الثابت المصفوفات الثابتة.
- يؤدي تخصيص ذاكرة أقل من المطلوب لصفيف إلى فقدان البيانات.
- لا يمكن لمصفوفة واحدة تخزين قيم لأنواع بيانات مختلفة ، أي أن المصفوفة متجانسة بطبيعتها.
- من الصعب جدًا إجراء عمليات الإدراج والحذف على المصفوفات لأنها تخزن البيانات في مواقع ذاكرة متجاورة ؛ ولكن للتغلب على هذه المشكلة ، يتم تنفيذ القوائم المرتبطة التي توفر وصولاً عشوائيًا إلى العناصر.
بحث في علم الرياضيات