بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل

بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل، هناك العديد من القوانين والقواعد والنظريات التي تتبع علم الرياضيات ، والتسلسلات والتتابعات الحسابية والهندسية هي إحدى هذه النظريات التي تشرح الترتيب المنطقي لمجموعة من الأشياء المتشابهة وفق قاعدة معينة ، ومن خلال موقعنا نقوم سيتضمن مناقشة شاملة ومتكاملة للتسلسلات الحسابية والهندسية بطريقة متسلسلة.

مقدمة بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية

في بداية بحثنا حول المتتاليات والمتتاليات الحسابية والهندسية ، سنتحدث عن تعريف المتتالية ، وأنواع التسلسل الهندسي والحسابي بالتفصيل ، مع ذكر الأمثلة والتفسيرات المختلفة لذلك ، ثم ننتقل إلى كيفية إيجاد أساس المتتاليات من خلال تحديد نوعها ثم تحديد التسلسلات والشرح التفصيلي عنها.

بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية

تعتبر المتتاليات والمتتاليات من أهم فروع الرياضيات ، حيث توضح كيفية ترتيب مجموعة من الأرقام رياضيًا وفقًا لقاعدة معينة ، ويكون تعريف التسلسل كما يلي:

تعريف المتتابعات

حدد التسلسل بالإنجليزية: sequence أو التسلسل باعتباره ترتيبًا معينًا لمجموعة من الأرقام التي تتبع قاعدة معينة ، ويتم التعامل مع التسلسل كدالة يكون مجالها هو مجموعة الأعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية منها ، ومداها عبارة عن مجموعة جزئية من الأرقام الحقيقية. الأرقام ، وعناصر النطاق تسمى حدود التسلسل ، وإذا كان n يمثل حدود التسلسل ، فإن n يمثل الحد الحالي للاستمرار ، وهنا مثال بسيط لتوضيح معنى المتتالية أو المتتالية: إذا افترضنا وجود عدة مربعات متتالية وفي كل مربع مجموعة من الألعاب ، فإن ترتيب المربعات يسمى حدود التسلسل بينما تسمى الألعاب قيمة الحدود المتتالية.

أنواع المتتابعات

هناك عدة أنواع من المتتاليات أهمها ما يلي:

المتتاليات الحسابية

يتم تحديد التسلسل الحسابي بالإنجليزية: arithmetic sequences أنها السلسلة التي يكون فيها الفرق بين كل حدين من حدودها ثابتًا ، وترمز إلى الفرق الثابت بين حدي السلسلة. د، ويسمى الحد الأول من حد السلسلة بقاعدة الشلال ويشار إليه بالرمز ح₁، وأحد أمثلة المتتاليات الحسابية: 10 ، 12 ، 14 ، 16 ، 18 … الفرق هنا بين كل حدين ثابت ويساوي 2 ، ويتبع التسلسل الحسابي قاعدة ثابتة ، وهي:

•  ح _ن = ح₁+(ن-1)×دن-1× د

أين:

• נ: is the number that expresses the order of the limit to find its value.
• ح _ن: قيمة الحد.

ويمكن إيجاد مجموع حدود المتتالية الحسابية حتى حد معين يسمى ن من خلال القاعدة التالية:

• المجموع = ن/2x 2×ح₁+(ن-1وجه ضاحك)

أمثلة على المتتاليات الحسابية

فيما يلي بعض الأمثلة التي تشرح مفهوم المتتاليات الحسابية:

• المثالُ الأول: ابحث عن قاعدة السلسلة التالية: 15 ، 19 ، 23 ، 27 ، 31 ، 35 ، 39 ، …….
  • الفرق بين كل حدين متتاليين في التسلسل يساوي 4 وهو قيمة د، بالنسبة للمصطلح الأول ، قيمته تساوي 15.
  • قاعدة التسلسل الحسابي: ح _ن = 15+ن-1× 4 = 15 + 4ν-4 = 11 + 4ν.
• المثالُ الثاني: أوجد مجموع المصطلحات الثلاثة الأولى في التسلسل الحسابي التالي: 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ………
  • يمكن إيجاد مجموع حدود المتتالية الحسابية من خلال القاعدة التالية:
  • المجموع = ن/2x 2×ح₁+(ن-1وجه ضاحك)
  • The sum of the first set of limits = נ = 6: 6/2x 2×5 + 5×2
  • مجموع المجموعة الأولى من النهايات = 3 × 20 = 60

المتتاليات الهندسية

تحديد المتتاليات الهندسية بالإنجليزية: geometric sequences أن هذا هو التسلسل الذي تكون فيه النسبة بين كل من حديها ثابتة ، ويقصد بها حاصل ضرب كل حدين ، وأن المتتاليات الهندسية تتبع قاعدة معينة ، بحيث يمكن أن تكون جميع المتتاليات تقاس به وهذه القاعدة هي:

• ح _ن = أ × ر ^ن-1

أين:

• ج: الحد الأول من حد المتسلسلة الهندسية ، ويعرف بأساس المتسلسلة.
• ر: النسبة الثابتة بين كل حد من حدود التسلسل الهندسي.

ويمكن إيجاد مجموع حدود المتسلسلة الهندسية حتى حد معين يسمى ن باتباع القواعد التالية:

• إذا كانت <1 ثم: المجموع = أ ×1-ر^ن/1-ر.
• إذا كانت ر> 1: المجموع = أ ×ر^ن-1/ر-1.

أمثلة على التسلسلات الهندسية:

• المثالُ الأول: ما أساس التسلسل الهندسي التالي: 3 ، 9 ، 18 ، 54 ، 162 ، ….
  • النسبة بين كل حدين متتاليين متساوية ر = 3
  • A = قيمة الحد الأول في المتتابعة الهندسية = 3
  • أساس التسلسل الهندسي: ح _ن = أ × ر ^ن-1
  • ح _ن = 3 × 3 ^ن-1
• المثالُ الثاني: ما أساس التسلسل الهندسي التالي: 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، …
  • النسبة بين كل حدين متتاليين متساوية ر = 2
  • A = قيمة الحد الأول في المتتابعة الهندسية = 2
  • أساس التسلسل الهندسي: ح _ن = أ × ر ^ن-1
  • ح _ن = 2 × 2 ^ن-1

أنواع أخرى من التسلسلات

هناك عدة أنواع من المتتاليات التي تتبع قواعد محددة ومختلفة ، وربما يكون أحد أشهر أنواع التسلسلات هو تسلسل فيبوناتشي ، الذي يتبع قاعدة عامة تنص على أن الحد التالي من متتابعين يساوي مجموعهما ، وللتيسير لفهم تسلسل فيبوناتشي ، نستخدم المثال التالي: 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، … .. لذا نجد أن 2 + 3 = 5 الحدُ التالي للعدد 3 ، 3 + 5 = 8 الحدُ التالي للعدد 5 ، 5 + 8 = 13 الحدُ التالي للعدد 8، 8 + 13 = 21 الحدُ التالي للعدد 13ويمكن تلخيص القاعدة العامة لتسلسل فيبوناتشي على النحو التالي:

• ح _ن = ح _{ن -1}+ ح _{ن -2}

إيجاد قاعدة المتتابعات

الخطوة الأولى لإيجاد أساس المتسلسلة هي معرفة نوعه ، سواء كان تسلسلًا حسابيًا ، أو تسلسلًا هندسيًا ، أو متسلسلًا فيبوناتشي ، حيث يتبع كلاهما القواعد المحددة المذكورة أعلاه ، وإذا كان التسلسل غير حسابي ، هندسي ، أو فيبوناتشي ، فمن الممكن معرفة أساس التسلسل عن طريق التخمين ، والقياس بالصواب والخطأ ، على سبيل المثال في التسلسل التالي: 1 ، 8 ، 27 ، 64 ، 125 ، 216 ، 343 ، ……. …, here the difference between the limits is not fixed, and the ratio is not fixed, and the third limit is not the sum of two limits, and upon conjecture we find that each limit is cubed to a certain number consecutively, i.e. ה _ن =³، ولأن 1³= 1، 2³= 8 ، 3³= 27 ، 4³= 64 ، 5³= 125 ، 6³= 216 ، 7³= 343 ، وإيجاد أساس هذه المتتابعة يمكن معرفة باقي حدودها 1 ، 8 ، 27 ، 64 ، 125 ، 216 ، 343 ، 512 ، 729 ، 1000.

أمثلة متنوعة حول المتتابعات

تهدف الأمثلة التوضيحية إلى ترسيخ مفهوم المتتاليات وأنواعها بين الطلاب ، ومن بين الأمثلة المتنوعة حول التسلسلات ما يلي:

• المثالُ الأول: أوجد الحد العشرين في التسلسل التالي: 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، …؟
  • الخطوة الأولى: تحديد نوع التسلسل ، التسلسل الرياضي ، حيث أن الفرق بين كل حد من حدوده ثابت = 2 = د
  • الخطوة الثانية: كتابة قاعدة التسلسل: ح _ن = ح₁+ن-1× د
  • ح _ن = 2+ن-1× 2
  • ح ₂₀ = 2 + 2n-2
  • ح ₂₀ = 2n
  • ح ₂₀ = 2 × 20
  • ح ₂₀ = 40
• المثالُ الثاني: أوجد النهايات الناقصة في المتوالية: 5،…،…، 625، 3125، 15625
  • للعثور على الحدود المفقودة ، من الضروري تحديد نوع المتسلسلة ، سواء كانت حسابية أو هندسية أو فيبونية
  • الخطوة الأولى: تحديد نوع التسلسل ، تسلسل هندسي ، حيث أن الفرق بين الحدود الثلاثة ثابت = 5 = ر
  • الخطوة الثانية: إيجاد القاعدة العامة للمتابعة الهندسية: ح _ن = أ × ر ^ن-1
  • إيجاد الحد الثاني: ح ₂ = 5 × 5 ^2-1
  • ح ₂ = 5 × 5 = 25
  • إيجاد الحد الثالث: ح ₃ = 5 × 5 ^3-1
  • ح ₃ = 5 × 5 ²
  • ح ₃ = 5 × 25 = 125
  • التسلسل: 5 ، 25 ، 125 ، 625 ، 3125 ، 15625
• المثالُ الثالث: ما هي قاعدة التسلسل: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، …
  • الخطوة الأولى: تحديد نوع المتتالية: حساب التفاضل والتكامل الرياضي ، لأن الفرق بين كل من حديها ثابت = 1 = د
  • الخطوة الثانية: كتابة القاعدة العامة للحساب: ح _ن = ح₁+ن-1× د
  • الخطوة الثالثة: تطبيق القاعدة العامة: ح _ن = 1+ن-1× 1 = 1+ -1 =

ملاحظات هامة حول المتتابعات

بعض الملاحظات المهمة حول التسلسلات ، بما في ذلك:

• لا يشترط أن يتبع التسلسل قاعدة معينة أو قانونًا عامًا ، لذلك يمكن تحديد قاعدته عن طريق التخمين.
• إذا تم تحديد الحد الأخير من التسلسل ، فإنه يصنف على أنه تسلسل محدود.
• إذا لم يتم تحديد الحد الأخير من التسلسل ، فإنه يصنف على أنه تسلسل لا نهائي.
• الحد العددي يعبر عن قيمة النهاية ويمكن اختصاره بالرمز ح _ن.
• يمكن تمييز التسلسل الحسابي عن الهندسة من خلال عمليتي الطرح والقسمة ، إذا كان الاختلاف ثابتًا في عملية الطرح ، فعندئذ يكون التسلسل حسابيًا ، وإذا كان الفرق ثابتًا في القسمة ، يكون التسلسل هندسيًا.
• لا يشترط تصنيف المتتاليات كتسلسل هندسي ، أو تسلسل رياضي ، حيث توجد أنواع أخرى من التسلسلات التي تتبع قواعد مختلفة.

تطبيقات المتتابعات في الحياة

هناك عدة استخدامات للتتالي في الحياة اليومية ، بحيث توفر الوقت وتقصير الجهد وتسهل العمليات الحسابية ، ومن بين التطبيقات:

• تستخدم التسلسلات في جدولة الديون المتبقية على الشخص.
• يتم استخدام التسلسلات في حساب الأقساط.
• تدخل المتتاليات في كثير من الأمور المصرفية.
• تدخل المتتاليات في البناء الرياضي ، والعديد من التطبيقات الرياضية.

تعريف المتسلسلات

حدد التسلسل أو السلسلة بالإنجليزية: seriesأنه مجموع حدود المتسلسلة ، سواء كانت هذه الحدود دوال أو أرقام ، على سبيل المثال المتتالية الحسابية 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، … ، أما بالنسبة للتسلسل 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ، وتتبع التسلسلات قاعدة محددة وهي:

أين:

• Σ: علامة الجمع
• k = 0 أو ر = 0: تُ تعني المصطلح الأول في الشكل متعدد الخطوط.
• n أو ن: تُ تعني السطر الأخير أو السطر الأخير في السلسلة.
• أ_ك أو ح _ن : الحد العام للخط.
• س_ن مسخ _ن : يعني مجموع ملامح الخط.
• ن: تُعني آخر حد أو آخر حد في التسلسل.

أمثلة على المتسلسلات

من خلال الأمثلة التوضيحية يمكن التفريق بين مفاهيم المسلسل والتتالي ، والتعرف على المسلسل بدقة أكبر ، ومن الأمثلة على ذلك:

• المثالُ الأول: جد المسلسل المقابل …