ما هي الأعداد النسبية في الرياضياتيحتوي علم الرياضيات على مجموعات مختلفة من الأعداد تبدأ بمجموعة الأعداد الطبيعية التي تشمل الأعداد الصفرية والموجبة ، ومجموعة الأعداد الصحيحة التي تشمل الأعداد الصفرية والموجبة والسالبة ، والأرقام النسبية التي تشمل الكسور ، والأعداد غير. -الأرقام المتناسبة ، ومن خلال موقعنا سنتعرف على الأرقام النسبية في الرياضيات.
ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات
تُعرّفُ الأعداد النسبية في الرياضيات بأنّها الأعداد التي يمكنُ كتابتّها على صورةً كسريّة أ/ب بحيثُ أنّ البسطَ والمقامُ هُما عددان صحيحان، والمقامُ لا يُساويْ الصفرأي أن A و B ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، و B لا يساوي الصفر. إذا كانت S تساوي صفرًا ، يصبح المقام غير معرّف ، ويسمى الرقم النسبي عددًا نسبيًا موجبًا إذا كانت علامة البسط و المقام متشابه بينما يطلق عليه رقم نسبي سالب إذا كانت الإشارة سالبة. يختلف البسط والبسط ، وعند الحديث عن الأعداد غير المتناسبة فهي الأرقام التي لا تحتوي على أعداد صحيحة في البسط أو المقام ، مثل الأرقام التي تحتوي على الجذور التربيعية لمربع غير مكتمل ، والكسور العشرية غير المنتهية.
أمثلة على الأعداد النسبية
بعد تعلم ماهية الأرقام النسبية في الرياضيات ، هناك عدة أمثلة توضيحية لصورة الأرقام النسبية ، ومن هذه الأمثلة:
الأعداد الصحيحة
الأعداد الصحيحة هي الأرقام التي تشمل الأعداد الموجبة والأرقام السالبة والصفر ، وجميع الأعداد الصحيحة تعتبر أرقامًا نسبية ، حيث أن البسط هو عدد صحيح ، والمقام يساوي عددًا صحيحًا واحدًا ، وأحد الأمثلة الموضحة لذلك :
- الرقم 10 هو عددُ نسبيْ: حيث يمكن كتابتها على شكل كسر 10/1 ، والمقام يساوي واحدًا صحيحًا
- الرقم -4 هو عددُ نسبيْ: حيث يمكن كتابته في صورة كسر -4/1 ، والمقام يساوي واحدًا صحيحًا
- الرقم 0 هو عددُ نسبي: حيث يمكن كتابتها كـ 0/1 ، والمقام يساوي واحدًا صحيحًا
الكسور والأعداد الكسرية
الكسر هو الكسر الذي يمكن كتابته في صورة البسط والمقام ، بحيث ينتمي كل من البسط والمقام إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، وقيمة المقام لا تساوي صفرًا. هذه أعداد نسبية ، و يمكن ترجمتها في شكل رموز. الكسر هو الذي يمكن كتابته على شكل أ / ب ، بحيث ينتمي كلاهما إلى أ ، ب إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، وب لا يساوي صفرًا ، والأعداد الكسرية اتبع نفس تعريف الكسور ، وهي أيضًا أرقام نسبية ، ومن بين الأمثلة الموضحة لهذا:
- يعتبر الكسر 2/4 عددًا نسبيًا ، لأن البسط والمقام ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي الصفر.
- يعتبر الرقم الكسري 5 و 3/2 عددًا نسبيًا ، لأنه يمكن تحويله إلى كسر على شكل أ / ب ، ولا يساوي أسه صفرًا.
مُلاحظّة: بعضُ الكسور لا تُعتبرُ نسبيّة، وذلكَ كما هوَ موضحٌ في الأمثلة:
- يعتبر الكسر 20/0 عددًا غير نسبي ، لأنه على الرغم من أن العددين 20 و 0 ينتميان إلى مجموعة الأعداد الحقيقية ، فإن المقام يساوي صفرًا ، وهذا سيؤدي إلى قيمة غير محددة.
- يعتبر الكسر π / 9 عددًا غير نسبي ، على الرغم من أن المقام عبارة عن عدد صحيح ولا يساوي صفرًا ، لكن π لا يعتبر عددًا نسبيًا.
الكسور العشرية
الكسور العشرية هي كسور نسبية يمكن كتابتها على شكل كسر يتكون من بسط ومقام إذا كانت كسور منتهية أو دورية ، وأحد الأمثلة الموضحة لهذا هو:
- يعتبر الكسر العشري 1.2 عددًا نسبيًا ، لأنه يمكن التعبير عنه على أنه 1.2 / 1 ، وعند ضرب كل من البسط والمقام في الرقم 10/10 ، يتم إنتاج الرقم 12/10 ، وهو رقم نسبي ، لأن الرقمين 12 و 10 هما رقمان صحيحان ، والرقم 10 لا يساوي صفرًا.
- الكسر العشري الدوري … يعتبر 5.555 رقمًا نسبيًا ، لأنه يمكن كتابته كرقم كسري 5 و 1/5 ، ويمكن تحويل هذا الرقم الكسري إلى 10/5 ، والذي يعتبر رقمًا نسبيًا.
الرقم يسمى رقم غير متناسب
أشهرُ الأمثلة على الأعداد غير النسبية
الأعداد غير المتناسبة هي كسور لا نهائية ، أو كسور ذات مكان صفر ، ومن أشهر الأمثلة على الأعداد غير المتناسبة ما يلي:
- الرقم π: يعتبر رقمًا غير نسبي ، نظرًا لأن قيمته تساوي 3.1415926535897932384626433832795 ، وهو كسر عشري غير أدنى.
- العدد النيبيري هـ: يعتبر رقمًا غير نسبي ، نظرًا لأن قيمته تساوي 2.7182818284590452353602874713527 ، وهو كسر عشري غير مقسم.
- بعضُ الجذور التربيعيّة والتكعيبيّة: بما أن قيمته تساوي كسرًا عشريًا غير منتهي ، مثل الجذر التربيعي للرقم 3.
حل كتاب الرياضيات الثاني المتوسط ص 1 الفصل الأول 1444
خصائص الأعداد النسبية
فيما يلي مجموعة من الخصائص العامة للأرقام النسبية ، ومنها:
- عندما تضرب رقمين نسبيين ، تكون النتيجة حاصل ضرب كلا الرقمين وحاصل ضرب كلا الرقمين.
- عند إضافة عددين نسبيين لهما نفس المقام ، تكون النتيجة حاصل ضرب مجموع البسطين في العددين ، ويظل المقام كما هو.
- عند طرح عددين نسبيين لهما نفس المقام ، تكون النتيجة ناتج طرح البسطين في العددين ، ويظل المقام كما هو.
- عندما تضيف أو تضيف أو تطرح رقمين نسبيين لهما نفس المقام ، تكون النتيجة رقمًا نسبيًا ، ولا يمكن أن تكون غير ذلك.
- عند قسمة بسط ومقام رقم نسبي على أي عدد صحيح قيمته لا تساوي الصفر ، تكون النتيجة أيضًا رقمًا نسبيًا.
- عند ضرب بسط ومقام الرقم النسبي بأي عدد صحيح قيمته لا تساوي الصفر ، تكون النتيجة أيضًا رقمًا نسبيًا.
- دائمًا ما يساوي تربيع الجذر التربيعي عددًا نسبيًا ، وقيمته هي الرقم الموجود داخل الجذر.
- قد ينتج عن تكاثر الجذور غير المتناسبة أحيانًا عدد غير متناسب.
- إذا كان العامل المشترك بين البسط والمقام في الرقم التناسبي هو الرقم 1 فقط ، فيُطلق عليه الشكل القياسي للعدد النسبي.
- لا يمكن أن تؤدي عملية إضافة أو طرح الأرقام غير النسبية إلى الحصول على أرقام نسبية ، إلا إذا كان الرقمان متعاكسان في الإشارة ويلغي أحدهما الآخر.
أسئلة متنوعة حول الأعداد النسبية
تساعد الأسئلة المختلفة في الفهم الصحيح لتعريف الأعداد النسبية ، بما في ذلك ما يلي:
- السؤال الأول: هل الكسور التالية تمثل الأعداد النسبية؟
- الكسر 8/5: يعتبر عددًا نسبيًا ، حيث ينتمي كل من البسط والبسط إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي صفرًا.
- الكسر 4/0: لا يعتبر عددًا نسبيًا ، لأن المقام يساوي صفرًا ، لذلك فهو رقم غير معرف.
- -8: يعتبر رقمًا نسبيًا ، حيث يمكن كتابته كـ 8 / 1-
- 0: يعتبر رقمًا نسبيًا ، حيث يمكن كتابته على شكل 0/1
- السؤال الثاني: هل الكسور العشرية التالية تمثل أرقامًا نسبية؟
- 2.585858585858: رقم نسبي ، لأنه كسر دوري يتكرر فيه الرقمان 5 و 8 بنفس التردد.
- 1.4789: رقم نسبي ، لأنه كسر عشري محدد.
- السؤال الثالث: هل القيم التالية تعتبر كسورًا نسبية أم أنها شيء آخر؟
- 2/4: رقم نسبي ، لأن البسط والبسط ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والبسط لا يساوي صفرًا.
- 1 و 3/4: رقم نسبي ، لأنه يساوي الكسر 7/4 الذي يعتبر عددًا نسبيًا ، لأن البسط والمقام يمثلان عددين صحيحين ، والمقام لا يساوي صفرًا.
- 200/7895: رقم نسبي ، حيث ينتمي كل من البسط والمقام إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي صفرًا.
مقارنة الأعداد النسبية
مقارنة الأرقام النسبية هي عملية لتوضيح علاقة الأرقام ببعضها البعض عن طريق علامات المقارنة من علامة المساواة ، وعلامة أكبر من ، وعلامة أقل من ، بحيث تحدد ما إذا كانت القيمة تساوي ، أكبر من ، أو أصغر من القيمة الأخرى ، ويتم استخدام العلامات والرموز لمقارنة الأرقام النسبية ، وهي كالتالي:
- إشارة التساوي (=):=: ويستخدم للإشارة إلى أن قيمتين متساويتين ، على سبيل المثال 3/4 = 3/4
- إشارة أصغر منْ (<):<: ويستخدم للإشارة إلى أن القيمة الأولى أصغر من القيمة الثانية ، على سبيل المثال 1/4 <1/2
- إشارة أكبر من (>):>: ويستخدم للإشارة إلى أن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية ، على سبيل المثال 1/5> 1/7
مقارنة الأعداد النسبية الموجبة
الرقم النسبي الموجب هو الرقم الذي تكون فيه علامة الأس والمقام موجبة ، وتتم مقارنة الأرقام النسبية من خلال الخطوات التالية:
- على سبيل المثال: قارن الرقم 6/3 والرقم 4/5:
- توحيد أماكن الأعداد النسبية بتحديد أصغر مضاعف مشترك
- المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6/3 و 4/5 هو الرقم 15
- اضرب بسط ومقام الرقم 6/3 في الرقم 5 لتحصل على 30/15
- اضرب بسط ومقام الرقم 4/5 في الرقم 3 لتحصل على 12/15
- سنلاحظ أن 30/15 = 5×3 / 5×6 = 6/3
- نجد أن 12/15 = 3×5 / 3×4 = 4/5
- المقارنة بين الأرقام 30/15 والرقم 12/15.
- نقارن البسط لكل بسط بعد توحيد المقامات ويكون الرقم الذي يحتوي على البسط الأكبر هو الرقم الأكبر ، وبما أن البسط هو عدد صحيح ، فإنه تتم مقارنته بنفس طريقة المقارنة بين الأعداد الصحيحة.
- نجد أن العدد 30 أكبر من العدد 12
- إذن فالعدد 30/15 أكبر من 12/15 ، لذا فإن 6/3> 4/5
مقارنة الأعداد النسبية السالبة
الرقم النسبي السالب هو الرقم الذي تكون فيه علامة البسط والمقام سالبة ، وتتم عملية مقارنة الأرقام النسبية السالبة على النحو التالي:
- توحيد الأعداد النسبية بتحديد المضاعف المشترك الأصغر.
- نقارن قواعد كل من العددين النسبيين بنفس طريقة المقارنة بين الأرقام السالبة.
- أكبر رقم سالب هو أصغر رقم.
- وعند مقارنة الأرقام السالبة والأرقام الموجبة ، يكون الرقم السالب ثانيًا أصغر من الرقم الموجب ، مهما كانت قيمته.
أمثلة على مقارنة الأعداد النسبية
الأمثلة تساعد …